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Ma proposition de recherche porte essentiellement sur l'arithmétique des corps de nombres. Je m'intéresse plus particulièrement au calcul de l'indice d'un corps de nombres, les nombres premiers qui le divisent ainsi que le nombre de classes pour les corps quadratiques. Un corps de nombres est un corps obtenu par adjonction au corps des rationnels Q , d'une racine dans C d'un polynôme à coefficients dans Q. Lorsque le polynôme est irréductible sur Q , et est de degré n , le corps de nombres est de degré n sur Q . L'anneau des entiers de K est l'ensemble de tous les éléments de K qui sont racines d'un polynôme unitaire à coefficient dans Z . L'indice d'un corps de nombres mesure en quelque sorte l'écart que l'anneau de K soit monogène, i.e. l'existence d'un élément dans A dont les puissances consécutives forment une base de A en tant que Z -module.

Le calcul de l'indice d'un corps de nombres et les premiers qui le divisent sont des questions classiques en théorie des nombres qui restent encore non résolues. Le premier à avoir parlé de ces premiers (appelés facteurs communs d'indices) est le mathématicien allemand Dedekind en 1878. Il n'existe cependant pas de méthode pour déterminer ces premiers ni pour calculer cet indice en général. Ce problème apparaît comme problème 22 dans la liste des problèmes ouverts dans le livre de Narkiwicz. Avec Ayad, nous avons fait beaucoup de progrès dans cette direction. Ces questions sont reliées aussi au nombre de classes d'un corps de nombres. L'arithmétique d'un corps de nombres est intimement liée à la factorisation des premiers dans son anneau d'entiers ainsi qu'au calcul du nombre de classes. À part leur côté théorique, ces questions ont beaucoup d'impact en cryptographie (sécurité informatique) et en théorie du codage. La dernière partie dans ma proposition porte sur la conjecture de la parité pour certaines courbes elliptiques. La théorie des courbes elliptiques était un ingrédient fondamental dont la preuve de Wiles pour le dernier théorème de Fermat. Le calcul du rang d'une courbe elliptique reste encore un problème ouvert. Il existe une conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer qui prédit que le rang arithmétique d'une courbe elliptique est égal à l'ordre d'annulation d'une certaine fonction L en s = 1, appelé rang analytique. Cette conjecture semble loin d'être résolue. La conjecture de la parité prédit que le rang d'une courbe elliptique est pair ou impair selon le signe de l'équation fonctionnelle de L. Je m'intéresse à cette conjecture ainsi qu'au calcul du rang pour certaines courbes elliptiques reliées aux problèmes congruents.